Економічний ризик

3. Критерій Ходжеса-Лемана

Ходжес та Леман стверджують, що в практиці прийняття рішень за умов невизначеності інформації щодо стану середовища часто знаходиться між повним незнанням та точним знанням апріорного розподілу.

Критерій Ходжеса-Лемана дозволяє використати можливу інформацію, яку має суб’єкт керування, але в той самий час забезпечує заданий рівень гарантії у випадку, коли ця інформація неточна. В деякому розумінні критерій Ходжеса-Лемана являє со-бою “суміш” критеріїв Байєса та Вальда.

Критерій Вальда

На відміну від “пасивного” середовища чи середовища, стан якого реалізується згідно з заданим розподілом ймовірностей, активне середовище прагне до вибору та-ких станів з множини Ø, для котрих функціонал оцінювання F=F+ приймає мінімальне значення з множини своїх можливих значень. Основною тенденцією для суб’єкта керування буде при цьому забезпечення собі гарантованих (максимінних) рівнів значень функціоналу оцінювання, тобто зведення ризику до нуля.

Таким чином, у ситуації J5 невизначеність цілком обумовлена тим, що суб’єктові керування невідомо, в якому стані з множини Ø знаходиться економічне середовище. У теоретичній моделі ступінь невизначеності зменшений через припущення, що еко-номічне середовище активно протидіє досягненню найбільшої ефективності рішень, що приймаються, шляхом вибору таких своїх станів, які зводять до мінімуму макси-мальну ефективність процесу управління.

Коли F=F+, то згідно з принципом максиміну кожному рішенню хк Х присвоюють як показник його гарантований рівень, що визначається найменшим за ста-ном середовища значенням функціоналу

Оптимальним називають таке рішення, для якого

Тобто, критерій Вальда ґрунтується на максимінному принципі для F=F+, що по-лягає у прийнятті такого рішення, яке задовольняє умові

Критерій Байєса

Суть критерію – максимізація математичного сподівання функціоналу оцінювання. Назва критерію пов’язана з перетворенням формул апріорних ймовірностей у апо-стеріорні. Критерій Байєса часто називають критерієм середніх (сподіваних) затрат (критерієм ризику при F=F -).

Згідно з критерієм Байєса оптимальними розв’язками х Х (або множиною таких оптимальних рішень) вважаються такі рішення, для котрих математичне сподівання функціоналу оцінювання досягає найбільшого можливого значення.

Якщо максимум досягається на декількох рішеннях з х, множину яких позначимо через, то такі рішення називають еквівалентними.

Величина 

називається байєсівським значенням функціоналу оцінювання для рішення 

Критерій Байєса є найбільш розповсюдженим в інформаційній ситуації J1. Цей критерій тісно пов’язаний з аксіомами теорії корисності (аксіома Неймана та Моргенштерна), де сумарна сподівана корисність ви-значається як математичне сподівання корисностей окремих результатів.

Якщо функціонал оцінювання задано у формі F -, то замість оператора max математичного сподівання використовується min математичного сподівання. Якщо функціонал оцінювання задано в ризиках, то сподівану величину B- (xk,p) називають байєсівським ризиком для розв’язку xk.

У першій інформаційній ситуації J1 при прийняті рішень за умов ризику користуються апріорними ймовірностями.