Методика преподавания математики 3

1. Розкрити поняття „натуральне число”, „система числення” в курсі математики початкової школи

Числа, які використовуються при лічбі предметів, називаються натуральними. Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Такий запис чисел називають десятковим. Треба запам'ятати, що число 0 не є натуральним.

Для читання натуральних чисел їх розбивають, починаючи справа, на групи по три цифри в кожній (у крайній зліва групі може бути одна чи дві цифри). Три перші цифри справа утворюють клас одиниць, три наступні - клас тисяч, потім - класи мільйонів, мільярдів і т.д.

1 мільйон (1 млн.) = 1 000 000

1 мільярд (1 млрд.) = 1 000 000 000

1 трильйон (1 трлн.) = 1 000 000 000 000

Наприклад, число 23 078 000 104. Його читають: 23 мільярди 78 мільйонів 104.

с - сотні, д - десятки, о - одиниці

Приклади:

а) Число 100 005 читають так: сто тисяч п'ять.

б) Число 1 000 050 читають так: один мільйон п'ятдесят.

в) Число 10 000 005 000 читають так: десять мільярдів п'ять тисяч.

Додавання натуральних чисел

Якщо додати до натурального числа одиницю, то отримаємо наступне за ним число.

Наприклад, 8 + 1 = 9; 53 + 1 = 54; 399 + 1 = 400.

Таким чином, додати, наприклад, 9 і 4 означає додати до 9 чотири рази одиницю. Одержимо: 9 + 4 = 9 + 1 + 1 + 1 + 1 = = 13.

Звичайно, що це записують коротше:

9 + 4 = 13.

Числа які додають, називають доданками; число, яке отримують при додаванні цих чисел, називають їх сумою.

У записі 9 + 4 = 13 числа 9 і 4 доданки, число 13 - сума.

У загальному випадку дія додавання запишеться:

При додаванні багатоцифрових чисел використовують спосіб додавання стовпчиком.

Приклади:

При усному розрахунку можна додавати числа порозрядно.

Приклади:

а) 58 + 74 = (50 + 70) + (8 + 4) = 120 + 12 = 132;

б) 453 + 865 = (400 + 800) + (50 + 60) + (3 + 5) = 1200 + 110 + 8 = 1318.

Віднімання натуральних чисел

Дію, за допомогою якої за сумою і одним із доданків знаходять другий доданок, називають відніманням.

Віднімання – це дія, обернена додаванню.

Тобто: "від 7 відняти 3" означає: "знайти таке число, яке в сумі з 3 дає в результаті 7".

7 - 3 = х; х + 3 = 7; х = 4.

Отже, 7 - 3 = 4.

Число, від якого віднімають, називається зменшуваним, а число, яке віднімають, - від'ємником. Результат віднімання називають різницею.

тобто с + b = a.

При діях з натуральними числами зменшуване не може бути меншим, ніж від'ємник.

Різниця двох чисел показує, на скільки перше число більше, ніж друге, чи на скільки друге число менше, ніж перше.

Приклади:

а) 101 - 13 = 88, оскільки 88 + 13 = 101;

б) 34 - 0 = 34, оскільки 34 + 0 = 34;

в) 573 - 573 = 0, оскільки 0 + 573 = 573.

При відніманні багатоцифрових чисел результат зручно знаходити способом віднімання стовпчиком:

Множення натуральних чисел

Правило: Помножити число m на натуральне число n - означає знайти суму n доданків, кожен із яких дорівнює m.

Вираз m • n і значення цього виразу називають добутком чисел m і n. Числа m і n називають множниками.

Приклади:

а) 5 • 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20;

б) 7 • 1 = 7.

Очевидно, що 5 • 4 = 4 • 5, що зрозуміло з рисунка:

При письмовому множенні результат зручно одержувати стовпчиком.

Приклади:

При усному множенні потрібно знати, що:

1) при множенні на 10 в результаті до числа справа дописується 0:

48 • 10 = 480;

2) при множенні на 100 в результаті до числа справа дописуються два 0:

576 • 100 = 57 600

і т.д.;

3) при множенні на 15 число спочатку множать на 10, а потім додають половину одержаного числа:

496 • 15 = 4960 + 2480 = 7440;

4) при множенні на 5 число спочатку множать на 10, а потім беруть половину одержаного числа:

38 • 5 = 380: 2 = 190;

5) при множенні на 25 число спочатку множать на 100, а потім беруть четверту частину одержаного числа:

17 • 25 = 1700: 4 =425;

6) при множенні на 50 число множать на 100, а потім беруть половину одержаного числа:

435 • 50 = 43 500: 2 = 21 750.

Треба запам'ятати, що

a • 0 = 0, a • 1 = a.

Щоб позначити дію множення, використовують два знаки: • і х. Знак х вперше використав у своїх роботах як знак, що означає множення, Оутред. Знак • з'явився в 1698 р. Його ввів німецький математик Ґотфрід Вільгельм Лейбніц.

Ділення натуральних чисел

Ділення - дія, обернена до множення. За її допомогою можна знайти один із двох множників, якщо відомі добуток та інший множник.

Таким чином, "24 поділити на 8 - означає знайти таке число, що при множенні його на 8 одержимо 24", тобто:

24: 8 = х, х • 8 = 24, х = 3.

Отже, 24: 8 = 3.

Приклади:

а) 105: 15 = 7, оскільки 7 • 15 = 105;

б) 0: 8 = 0, оскільки 0 • 8 = 0.

Треба запам'ятати, що

0: а= 0, якщоа≠0

а: 0 - не можна!

Отже, а: b = с, причому с • b = а; а - ділене, b - дільник, с - частка.

Приклад: 48: 6 = 8, 48 - ділене, 6 - дільник, 8 - частка.

Знак ділення: вперше ввів у 1202 р. в своїх роботах Леонардо Пізанський. Однак існує ще один знак ділення —, вперше введений У. Джонсом у 1633 р. Таким чином, записи 76: 19 і 76/19 означають одне і те ж. Переваги запису ділення через риску ви побачите згодом.

Отже,

Приклади:

а) 90: 5 = (50 + 40): 5 = 50: 5 + 40: 5 = 10 + 8 = 18;

б) 165: 3 = (150 + 15): 3 = 150: 3 + 15: 3 = 50 + 5 = 55.

Якщо ділене і дільник закінчуються нулями, то ділення виконується без останніх нулів.

Приклади:

а) 480: 12 = 40, оскільки 48: 12 = 4;

б) 460: 230 = 46: 23 = 2;

в) 800: 40 = 80: 4 = 20.

Але при діленні натурального числа а на натуральне число b може трапитись, що не існує такого натурального числа с, що с • b = а, наприклад, 15: 7. У цьому випадку йдеться про ділення з остачею. Це записується:

15: 7 = 2 (ост. 1) чи 660: 50 = 13 (ост. 10).

Зверніть увагу на наявність нуля в остачі у другому прикладі.

Треба запам'ятати, що якщо а - ділене, b - дільник, с - неповна частка, r - остача, то а = с • b + r. Причому остача завжди менша дільника, тобто, r < b. Значить, при діленні, наприклад, на число 7 можливі остачі: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Приклади:

а) 48: 7 = 6 (ост. 6);

б) 81: 7 = 11 (ост. 4).

Якщо в остачі одержали число 0, то говорять, що одне число поділилось на друге націло. Наприклад, 35: 7 = 5 (ост. 0), пишемо просто 35: 7 = 5.

Приклади:

Властивості дій над числами

Переставна властивість

Правило: Сума чисел не зміниться при перестановці доданків.

a + b = b + a

Приклад: 308 + 1427 = 1427 + 308.

При будь-якому способі додавання результат дорівнює 1735.

Правило: Добуток чисел не зміниться при перестановці множників.

a • b = b • a

Приклад: 14 • 108 = 108 • 14.

Сполучна властивість

Правило: Щоб додати до суми двох чисел третє число, можна до першого числа додати суму другого і третього.

(a + b) + c = a (b + c)

Приклади:

а) (327 + 84) + 116 = 327 + (84 + 116) = 327 + 200 = 527;

б) (4083 + 576) + 5917 = (576 + 4083) + 5917 = 576 + (4083 + 5917) = 576 + 10 000 = 10 576.

Правило: Щоб помножити добуток двох чисел на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього.

(a • b) • c = a • (b • c)

Приклади:

а) (7 • 25) • 8 = 7 • (25 • 8) = 7 • 200 = 1400;

б) (50 • 23) • 40 = (23 • 50) • 40 = 23 • (50 • 40) = 23 • 2000 = 46 000.

Розподільна властивість

Правило: Щоб помножити суму двох чисел на число, можна помножити на це число кожен із доданків і додати одержані добутки.

(a + b) • c = a • c + b • c

Приклади:

а) (17 + 8) • 5 = 17 • 5 + 8 • 5 = 85 + 40 = 125;

б) 24 • 19 + 76 • 19 = (24 + 76) • 19 = 100 • 19 = 1900.

Правило: Щоб помножити різницю двох чисел на число, можна помножити на це число зменшуване і від'ємник і від першого добутку відняти другий.

(a - b) • c = a • c - b • c

Приклади:

а) (28 - 19) • 3 = 28 • 3 - 19 • 3 = 84 - 57 = 27;

б) 317 • 213 - 217 • 213 = (317 - 217) • 213 = 100 • 213 = 21 300.