Историческая информатика 4

2. Моделювання демографічного циклу

Людське суспільство – це складна не рівноважна система, що розвивається. Складність, багатофакторність і суперечливість соціальної еволюції приводять дослідників до закономірного висновку, що будь-яке спрощення, редукція, недогляд з виду всього різноманіття факторів неминуче веде до невірного розуміння досліджуваних процесів. Сучасні досягнення в області математичного моделювання дають однозначну відповідь: «Можна». Соціальна еволюція дійсно підкоряється строгим і досить простим макро законам.

Конструктивний синтез соціальних наук і математики вимагає введення адекватних засобів виміру соціальних величин. Так само як і у фізиці, деякі величини піддаються нескладній оцінці, тоді як вимір інших вимагає тривалої роботи та навіть побудови допоміжних моделей.

Однієї з найбільш доступних для безпосереднього виміру соціальних величин є чисельність людей. Тому не дивно, що саме область демографії залучає дослідників, даючи надії на успіх у побудові кількісної теорії.

Однак, незважаючи на вимірність даних і, більше того, на очевидність формули, що випливає із закону збереження й описує демографічну динаміку:

(1)

де N – число людей, B – число народжень й D – число смертей в одиницю часу, на мікрорівні виявляється, що і число народжень, і число смертей залежать від багатьох інших соціальних параметрів, і в тому числі від «людського фактору» – прийняття рішень окремими людьми, що слабко піддається формалізації.

Крім того, формула (1) не враховує переміщення людей у просторі, а отже вона повинна бути розширена:

де вектор J відповідає міграційному потоку. У цьому випадку задача ще більше ускладнюється, оскільки міграційні процеси ще сильніше піддані впливу зовнішніх факторів.

Тому опис демографічних процесів на мікрорівні натрапляє на істотні проблеми, зв'язані, насамперед, з не розробленістю формальних соціальних законів, що погоджують економічні, політичні, етичні та інші фактори, що визначають поводження малих груп людей.

Єдиним поки доступним підходом є макро опис, що не вдасться в дрібні деталі демографічного процесу і висвітлює динаміку більших людських мас, для яких вплив людського фактору помітно нижче.

Біологічні процеси народження й смерті характерні не тільки для людей, але й для будь-яких тварин. Тому цілком природним кроком є спроба опису демографічних моделей із застосуванням добре зарекомендували себе популяційних моделей, що використаються в біології [1].

Базовою моделлю, що описує динаміку популяції тварин, є логістичною моделлю, запропонована Ферхюльстом [2]:

(2)

яку можна також представити у вигляді

(3)

де перша дужка відповідає числу народжень B, а друга – числу смертей D у формулі (1), а r, K, a1, a2, b – позитивні коефіцієнти, зв'язані співвідношеннями

r = a1 – a2 й

Логіка рівняння (3) така: народжуваність a1 є постійної, таким чином, число народжень B = a1N пропорційно чисельності популяції, природна смертність a2 також уважається постійної, а квадратична добавка b2 у вираженні для повної смертності D = a1N+b 2 виникає через обмеженість ресурсу, що не дозволяє популяції нескінченно рости. Коефіцієнт b називають коефіцієнтом внутрішньовидової конкуренції.

У підсумку, динаміка популяції, описуваної логістичним рівнянням, спочатку, коли чисельність тварин мала, спостерігається експонентний ріст із показником r = a1 – a2. Потім, в міру заповнення екологічної ніші, ріст сповільнюється і, в остаточному підсумку, чисельність популяції виходить на постійний рівень K.

Значення параметра K, називаного ємністю екологічної ніші популяції, принципово. Ця величина визначає рівноважний стан у динаміку популяції при заданих ресурсних обмеженнях і визначає межі її росту.

Іншою відомої популяційною моделлю є модель Лотки-Вольтерра [3], відома як «хижак-жертва». Вона описує динаміку популяцій двох взаємодіючих видів, один із яких є основною їжею для іншого, і складається із двох рівнянь виду (1):

(4)

де x – чисельність жертв, y – чисельність хижаків, A, B, C, D – коефіцієнти.

Дана модель, аналогічно (2), припускає, що число народжень жертв пропорційно їхньої чисельності. Число смертей хижаків також пропорційно їхньої чисельності. Що ж стосується смертності жертв і народжуваності хижаків, то отут має місце системний ефект. Уважається, що жертви в основному гинуть через контакт із хижаком, а народжуваність хижаків залежить від наявності їжі – жертв. У моделі передбачається, що в середньому число контактів жертв і хижаків пропорційно чисельності обох популяцій, що й дає вираження Bxy для кількості смертей жертв й Cxy – для числа народжень хижаків.

Дана модель демонструє циклічну динаміку. Ріст чисельності жертв приводить до росту хижаків, ріст хижаків викликає скорочення жертв, скорочення жертв веде до скорочення хижаків, а при малій кількості хижаків жертви знову починають бурхливо розмножуватися.

Описані популяційні моделі мають надзвичайно широке застосування в біологічних дослідженнях. Доцільно припустити, що і для людини, як тільки він також має біологічну природу, повинні виконуватися подібні співвідношення або їхні аналоги.

У далекій давнині, коли люди мало відрізнялися від тварини, як видно, моделі (2)–(4) могли б бути застосовані повною мірою. Однак з появою в людини нового середовища перебування – соціальної, пряме застосування описаних моделей вже не цілком адекватно. Зокрема, модель (2) припускає задану зовнішніми умовами ємність екологічної ніші (яка в соціальних моделях часто називається стелею несучої здатності землі), однак досвід розвитку людства показує, що протягом всієї історії ця стеля постійно піднімалася, дотримуючись власного розвитку, і, отже, він не може вважатися постійним і заданим зовнішніми умовами. Людина здатна перетворювати ці умови.

Що ж до застосування моделі (4), то в буквальному значенні вона взагалі незастосовна, тому що людина на ранніх етапах еволюції навчилася ефективно оборонятися від хижаків. І, отже, не може бути «жертвою» у моделі, а з іншого боку, вона навчилася не залежати від коливань чисельності жертв, на які він полює, отже, він не може бути і «хижаком», оскільки хижаки в моделі дуже чутливі до зміни числа жертв.

Проте, модель (4) знаходить нове, нетрадиційне застосування в демографічних моделях. Зокрема, вона може бути застосована для опису коливань чисельності населення, виявлених практично у всіх аграрних суспільств [4]. У ролі жертви виступає населення, а в ролі хижака - соціальна нестабільність, війни, голод, епідемії, імовірність виникнення яких збільшується в міру того, як зростаюче населення наближається до стелі несучої здатності.

Демографічні цикли самі по собі є дуже цікавим предметом математичного дослідження. Останнім часом ця тема активно розробляється [5-7] та ін.

Емпіричне підтвердження зв'язку чисельності населення та рівня технології. Наступним кроком є обґрунтування використання уведеного нами показника T (рівень технології) при моделюванні глобального демографічного процесу і побудови моделі, що опирається на загальноприйняті в демографічній науці рівняння.

Як відзначалося, одним з найбільш загальних положень у популяційній динаміці є використання логістичного рівняння Ферхюльста [2]. Воно описує динаміку популяції в умовах ресурсного обмеження та чудово працює для багатьох біологічних видів - від мікроорганізмів до великих тварин. Що стосується його застосовності до опису демографічного процесу, те емпіричні дані по квадратичному росту населення (4) і постійний ріст стелі несучої щільності Землі, здавалося б, роблять рівняння (2) непридатним для опису росту чисельності населення.

Якщо узагальнити ці висновки, то їх можна записати у вигляді:

(5)

де r, w – коефіцієнти.

Рівняння має вигляд (2) і будується з тих міркувань, що потовк несучої здатності Землі обмежений рівнем існуючої технології. При виникненні відносної перенаселеності населення повертається до збалансованої чисельності - як правило, за рахунок війн та епідемій, при не до населеності виникає швидкий ріст в умовах зниженої конкуренції й населення стабілізується на рівні стелі, поки яке-небудь, можливо мале, вплив не відхилить його, викликаючи чергове коливання.

Швидкість виходу на рівень стелі несучої здатності як зверху – військові конфлікти й епідемії – так і знизу – відновлення після цих нещасть, залежить від здатності людей оперативно знищувати й відновлювати один одного й інфраструктуру. У цьому припущенні коефіцієнт r, відповідальний за швидкість виходу на стелю несучої здатності, також повинен залежати від рівня технології. У найпростішому випадку лінійної залежності можна представити наступну модель росту населення:

(6)

де v й w – постійні коефіцієнти. У подібному формулюванні відношення T до w здобуває цілком чіткий зміст – це кількість людей, що може прокормити Земля при заданому рівні технології T.

Модель (6) асимптоматично дає гіперболічний ріст. При завданні початкових умов, для яких населення сильно відрізняється від заданого рівнем технології стелі несучої здатності, населення дуже швидко виходить на нього й потім треба за цією стелею, що у свою чергу росте прискореними темпами.

Таким чином, моделі популяційної динаміки не гублять своєї актуальності і в описі демографічних процесів, особливо процесів, що йдуть на порівняно малих тимчасових масштабах. Дійсно, моделювання демографічних циклів і коливань навколо тренда під впливом дестабілізуючих факторів може бути добре описане з позицій рівняння (5) і його модифікацій. Однак при описі макро динаміки такого роду швидкі процеси виходу на траєкторію, уздовж якого система рухається відносно повільно, взагалі часто не виділяються в окремі рівняння. Відповідно до теореми Тихонова [1], у системі рівнянь диференціальне рівняння для змінної, що має значно менший характерний час зміни в порівнянні з іншими змінними, може бути замінено алгебраїчним (за умови, що характер рішення не міняється при устремлінні малого параметра при похідній до нуля).

Що ж стосується більше повільних змін, то для їхнього опису варто використати моделі, що враховують інший порядок характерних швидкостей.

Так з обліком того, що населення швидко виходить на квазістаціонарну траєкторію, ресурсні обмеження виступають як члени іншого порядку малості:

(7)

тобто як обмеження, пов'язані з необхідністю надлишку, що забезпечує стійкий ріст тренда, навколо якого відбуваються коливання. Рівняння (7) перепишемо у вигляді

(8)

де a і m – коефіцієнти. Дане рівняння також має цілком популяційну трактування: приріст спостерігається у випадку, коли виробляється продукту більше, ніж необхідно для виживання. Коефіцієнт m відіграє роль «прожиткового мінімуму» – частки зробленого ресурсу,, що направляє строго на підтримку досягнутої чисельності населення. Приріст можливий тільки якщо спостерігається різниця між продуктом, зробленим і витраченим на одну людину. Відповідно до моделі T – продуктивність праці, а m – мінімально необхідний продукт на одну людину, таким чином, різниця (T – m) – це ресурс на душу населення, що може бути витрачений на додаткові цілі – розмноження, науку, мистецтво, розваги й ін.

Таким чином, доцільно ввести перемінну

(9)

яка має зміст надлишків на душу населення, які можуть бути використані на додаткові цілі крім підтримки досягнутої чисельності населення.

З урахуванням даного виправлення можна записати наступну модель:

(10)

(11)

де a та b – константи. Рівняння (10) є записом рівняння (8) з обліком (9), а рівняння (11) є рівнянням росту технології, оскільки, мабуть, з урахуванням припущення про сталість m в (9), має місце рівність

(12)

Рівняння (11) з математичної точки зору, у сполученні з (10) дадуть гіперболічний ріст змінної N, однак істотним розходженням є розуміння змінних, що відбивають технологічний зміст. Зрозуміло, що введення додаткових змінних і показників може бути виправданим тільки тоді, коли це введення дає якусь нову якість. На наш погляд, введення нових понять і модифікація рівнянь повинні служити меті більше адекватного опису дійсності та емпіричних даних.

У роботі були проаналізовані існуючі математичні концепції глобальної демографії і, з погляду пошуку реальних механізмів гіперболічного росту, найбільш перспективним представляється підхід, заснований на розгляді спільного росту населення Землі та технологій. З іншого боку, наявні математичні пояснення демографічного переходу залишаються на феноменологічному рівні.

У роботі було проведено емпіричне обґрунтування демографічно-технологічному підході до опису гіперболічного росту населення Землі. Була запропонована модель демографічного переходу, що включає два важливих показники – чисельність населення, рівень технології. При її простоті і малій кількості параметрів модель із високою точністю описує спільну динаміку двох показників у розглянутому інтервалі.

Література

1. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, которые содержат маленькие параметры при производных //Мат. Сб. – 1952. – Т.32, №3.

3. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. – М.: Наука, 1976.

4. Нефедов С.А. Про демографічні цикли в історії середньовічного Єгипту

5. Малков С.Ю. Математическое моделирование исторических процессов //Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. – 2002. – С.291-323.