Величини та їх властивості. Методика вивчення величин у початкових класах

1. Величини, що вивчаються в початкових класах.

З величинами учні знайомляться протягом всього періоду навчання в початковій школі, починаючи з концентру „Десяток”.

У початкових класах розглядають як скалярні величини (довжина, площа, маса, місткість, час, вартість, ціна тощо), так і векторну (швидкість).

Вивчення величин — це один із засобів зв’язку навчання математики з життям. Ознайомлення учнів з величинами та одиницями їх вимірювання і формування відповідних умінь та навичок проходить в тісному зв’язку з формуванням поняття натурального числа, з формуванням поняття геометричної фігури. Вивчення величин і одиниць їх вимірювання треба організувати так, щоб діти набули деяких практичних навичок вимірювання величин, конкретно уявляли одиниці їх вимірювання та співвідношення між ними.

Учні повинні засвоїти таке: при розв’язанні задач або в практичній діяльності доводиться вимірювати довжину, площу, відлічувати час, розв’язувати задачі на швидкість, обчислення вартості та інше.

Величини мають певні властивості.

Будь–які дві величини одного роду, або рівні, або одна менша від іншої, чи більша. Величини одного роду можна додавати, в результаті чого дістаємо величину того самого роду. Величини одного роду можна віднімати, множити на число, ділити на число, ділити значення однієї величини на інше.

Учнів слід переконати в тому, що при множенні величини на число дістанемо величину того самого роду:

5 м2 * 3 = 15 м2

Множення значень двох однорідних величин допускається в тому випадку, якщо з неї утворюється похідна величина:

5м * 3м = 15м2

Порівнюючи величини безпосередньо, можна дізнатися рівні вони чи ні. Щоб отримати більш точний результат порівняння, величини слід виміряти. Вимірювання полягає в тому, щоб порівняти дану величину з деякою величиною, яка прийнята за одиницю вимірювання.

Сьогодні в більшості країн світу затвердилася метрична система мір, в якій основною одиницею є метр — 1/40 мільйонна частина Паризького меридіану, який вимірювали між Дюнкерком і Барселоною.

Інші міри довжини дістали назви за допомогою латинських і грецьких слів — санти, деци, мілі — для позначення менших одиниць, ніж метр, та грецьких слів дека, гекто, кіло — для позначення більших одиниць від основної.

санти 1/100 м дека — більша в 10 разів

деци 1/10 м гекто більша в 100 разів

мілі 1/1000 м кіло — більша в 1000разів

Для учнів слід виготовити таблицю про співвідношення між мірами довжини:

Міри довжини

1 км = 1000 м 1дм = 10 см

1м = 10 дм 1м = 100 см

1 м = 1000мм 1см = 10мм

При вивченні мір за одиницю маси вибирають 1 кг. Таблиця мір маси має такий вигляд:

Міри маси

1 кг = 1000г

1 кг = 10 ц

1 т = 1000 кг

1 ц = 100 кг

Серед мір місткості, що вивчаються в початковій школі увага приділяється лише літру — це об’єм і місткість рідин та сипучих величин, що дорівнює об’єму куба зі стороною 1 дм (з ребром зі стороною 1/10 м).

Аналогічно трактують міру маси 1 грам — це маса чистої води, що вміщується у кубі з ребром довжиною 1 см (1/100 м).

Міри площі розглядаються в 3–4 класах чотирирічної початкової школи і основною мірою площі виступає м2 (метр квадратний), а основною мірою земельних площ — ар (1 ар — це ділянки зі стороною 10 (10 м х 10 м) — сотка.

Співвідношення засвоюються за допомогою таблиці.

Міри площі

1 м2 = 100 дм2 1 км2 = 1000000 м2

1 дм2 = 100 см2 1 ар = 100 м2

1 м2 = 10000 см2 1 га = 100 арів

1 км2 =100 га

Згідно програми останньою з величин, що вивчається в початковому курсі є час. Оскільки дана величина нематеріальна, її сприйняття і засвоєння зазнає труднощів, які викликані нематеріальним характером величини і не десятковими співвідношеннями між мірами часу.

Засвоєння мір часу полегшується за допомогою таблиці.

Міри часу

1 рік = 12 місяців = 365 (366) діб

1місяць = 30 (31, 28 або 29) діб

1доба = 24 години

1 година = 60 хвилин

1 хвилина = 60 секунд

1 місяць » 4 тижні

1 тиждень = 7 діб

1століття = 100 років

Вивчення мір часу матеріалізується за допомогою табелів – календарів, календарів природи, моделей циферблата годинника та стрічки часу.

Методика формування величин передбачає застосування всіх компонентів методичної системи для застосування знань, умінь і навичок.

2. Методика вивчення довжини та одиниць її вимірювання. Дії над іменованими числами, вираженими мірами довжини.

У методиці доцільно виділити три етапи оволодіння основними вимірювальними знаннями, вміннями і навичками. Під час вивчення вимірювання довжин ці етапи такі: 1) вимірювання довжини відрізка за допомогою набору моделей сантиметра;

2) масштабною лінійкою без цифрової школи;

3) масштабною лінійкою з цифровою шкалою.

Ще в до числовий період у шестиліток формують уявлення про протяжність у різних напрямках. У зв’язку з цим ними засвоюються поняття „довший”, „коротший”, „однаковий за довжиною”, „вищий”, „нижчий”, „однаковий за висотою”, „ширший”, „вужчий”, „однаковий за шириною”, „товщий”, „тонший”, „однаковий за товщиною”.

В концентрі „Десяток” ці уявлення узагальнюються і об’єднуються терміном „довжина” та введенням міри для визначення довжини.

Спочатку пропонуються учням лабораторні завдання на вимірювання довжини смужок за допомогою інших смужок, які грають роль мірок. При цьому демонструються прийоми вкладання, відкладання, накладання.

В концентрі „Десяток” спочатку розглядають смужки довільної довжини, які вибирають за мірки і ілюструють прийоми вимірювання довжини.

На наступному етапі „міркою” вибирають смужку довжиною 1 см і за довжиною цієї смужки вимірюють певні смужки.

Прийом вкладання полягає в тому, що модель 1 „см” послідовно вкладають у вимірювальну смужку.

Прийом відкладання полягає в тому, що модель 1 см, послідовно відкладають на смужці, роблять помітки олівцем.

Прийом, накладання використовують при порівнянні смужок приблизно однакової довжини (одну смужку накладають на другу так, щоб ліві кінці співпадали, за положенням правих кінців визначають, яка смужка довша, а яка коротша).

Пізніше учням повідомляють, що перераховані прийоми прикладання лінійки. Лінійку прикладають так, щоб ребро лінійки співпадало з вимірювальним відрізком, а початок відрізка був напроти поділки 0. Після цього результат вимірювання зчитують зі шкали лінійки, називають ту цифру, яка стоїть проти правого кінця вимірюваного відрізка.

При роботі з лінійкою учнів навчають виконувати наступні операції: розміщувати аркуш паперу так, щоб руки і лінійка не закривали відрізка, який вимірюють; і встановлювати лінійку так, щоб відрізок містився біля освітленого ребра лінійки, де є проділки; сумувати початок відліку лінійки з початком вимірюваного відрізка; розміщувати чотири пальці лівої руки так, щоб вони притискували середину лінійки до аркуша паперу; називати й показувати кожен сантиметр під час „крокування” олівцем уздовж відрізка.

В концентрі „Другий десяток” розглядається нова міра довжини — дециметр, яку вводять на основі співвідношення 10 см = 1 дм, спираючись на аналогію між співвідношеннями лічильних одиниць: 10 одиниць = 1 десяток.

При цьому показують модель дм окремо і на лінійці. Первинні закріплення проводять за завданнями підручника. Учні розглядають моделі 1 см і 1 дм, визначають довжини відрізків, які поділено на сантиметри.

Розглядаються вправи й такого типу:

1) роздроблення іменованих чисел, виражених дм і см:

1 дм 3 см = 13 см;

2) перетворення іменованих чисел:

15см = 1 дм 5 см.

У концентрі „Сотня” відбувається ознайомлення з метром, яке проводять за таким планом: бесіда вчителя, за допомогою якої він підводить учнів до висновку, що великі відстані краще вимірювати більшими одиницями мір; показування демонстраційного метра для безпосереднього зорового сприймання; повідомлення співвідношень: 1м = 100см, 1м = 10дм; розгляд моделей метра, виготовлених з різних матеріалів; самостійне виготовлення дітьми метра з паперових смужок; вправи на вимірювання.

Вправи на вимірювання бувають двоякого роду; вимірювання відстані між двома пунктами (точками), наприклад, довжини та висоти класу, довжини шнурка тощо; вимірювання відстаней, що дорівнюють даному числу метрів (наприклад, відміряти три метри ниток).

У концентрі „Тисяча” вводяться нові одиниці вимірювання довжини (мм, км), буквене позначення відрізків. Відрізки широко використовують для розгляду понять збільшення і зменшення числа в кілька разі, кратного порівняння чисел тощо. У даному концентрі розглядаються різні вправи на роздроблення, перетворення, порівняння, дії над мірами довжини.

В концентрі „Багатоцифрові числа” передбачається узагальнення раніше набутих знань, умінь і навичок вимірювання довжини, складається таблиця одиниць вимірювання довжини.

Під час виконання практичних завдань, розв’язування задач, обчислення виразів виконують операції роздроблення, перетворення іменованих чисел, виражених мірами довжини на 4 арифметичні дії над ними.

Розглянемо дані вправи.

1. Роздроблення іменованих чисел

5 км 735 м =

Зразок міркування: кожний км містить 1000 м. Отже, 5 км — це 5000 м та 735 м разом 5735 м.

5 км 735 м = 5735 м

2. Перетворення іменованих чисел – дані вправи обернені до попередніх.

5735 м = км м

Зразок міркування: кожен км становить 1000 м, а тому кількість тисяч в даному числі означає км. Інші числа розрядів сотень, десятків і одиниць позначають метри — 735м.

5735 м = 5 км 735 м

3. Арифметичні дії над складеними іменованими числами, вираженими мірами довжини.

Над іменованими числами слід розрізняти дії над простими іменованими числами:

8 см + 7 см = 15 см = 1 дм 5 см;

та складеними:

3см 2 мм + 5см 9 мм = 32 мм + 59 мм = 91 мм = 9 см 1 мм

Більшу трудність у дітей викликають дії над складеними арифметичними діями, тому розглянемо дане питання конкретніше.

Додавання складених іменованих чисел, виражених мірами довжини, проводиться двома способами:

I спосіб

53 м 08 см + 9 м 73 см = 62 м 81 см

5308

973

6281 (см)

II спосіб полягає в тому, що складені іменовані числа підписують одне під одним так, щоб однойменні числа були в одному стовпці:

53 м 08 см 53 м 88 см

9 м 73 см 9 м 73 см

62 м 81 см 62 м 161 см

63 м 61 см

Дія віднімання виконується аналогічно двома способами:

I спосіб 53 м 08 см – 9 м 73 см = 43 м 35 см

5308

973

4335 (см)

II спосіб 53 м 08 см

9 м 73 см

43 м 73 см

Множення іменованого числа на число виконують єдиним способом: роздроблюють складене іменоване число і одержують просте іменоване число, в наслідок чого зводять дію множення до множення натуральних чисел. Алгоритм виконання вправи має такий вигляд:

976 9 м 76 см * 48 =

48 9 м 76 см = 976 см

7808 9 м 76 см * 48 = 46848 см =

3904 = 468м 48 см

46848 (см)

Ділення іменованих чисел, виражених мірами довжини є два види:

1) ділення іменованих чисел на натуральне, яке має зміст ділення на рівні частини; ділення виконується єдиним способом — іменоване число роздроблюють і виконують ділення натуральних чисел:

207 м 36 см: 16 =

207 м 36 см = 20736 см

20736 16

16 1296 (см)

47

32 207 м 36 см: 16 = 1296 см = 12 м 96 см

153

144

96

96

0

2) ділення іменованого числа на іменоване, що має характер дії ділення на вміщення; дана дія виконується аналогічним способом до попередньої дії:

207 м 36 см: 12 м 96 см =

207 м 36 см = 20736 см

12 м 96 см = 1296 см

20736 1296

1296 16

7776

7776

0

207 м 36 см: 12 м 96 см = 16

Оволодіння технікою виконання арифметичних дій над іменованими числами забезпечує результативність при виконанні різних математичних завдань.